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南开大学丁云龙教授来我院讲座

  更新时间:2021-04-23

本网讯(通讯员甘宁)2021年4月17日上午南开大学数学科学学院副院长丁云龙教授应邀在振华楼B214报告厅作了一场题为“等价关系与Borel归约”的精彩逻辑报告。此次讲座是逻辑与数学基础系列讲座之一,由哲学学院和数学与统计学院主办。来自哲学学院、数学与统计学院的师生近30人参加了报告。讲座由哲学学院科学技术哲学教研室程勇教授主持,报告人主讲90分钟,问答交流30分钟。

讲座中,丁老师向我们详细介绍了以Borel归约刻画各种等价关系的相对复杂性的基础理论以及该领域的一些最新成果。

首先,丁老师向我们详细讲解了三种典型的等价关系,以此佐证等价关系归约的可行性。其一,两个矩阵是否等价可以归约为这两个矩阵的秩是否相等,而两个矩阵是否相似也可以归约为它们的Jordan标准型是否相同;其二,每个有限生成阿贝尔群都同构于某一典范结构的直和,欲验证两阿贝尔群是否同构只需比较其对应典范结构的直和的特征数字是否相同即可;其三,对一个紧致拓扑空间可以定义一个定义在此空间上的复值函数构成的函数空间,且两个紧致Hausdorff空间同胚当且仅当它们所对应的上述函数空间同构。

紧接着,丁老师向我们展示了将一种等价关系归约为另一种等价关系的一般形式。丁老师指出,相等关系是最为简单、基本的一种等价关系,但在实际研究应用中,并不是所有的等价关系都能归约到相等关系的;如果使用了选择函数进行归约,则能将所有的等价关系归约成相等关系,但是这种归约并没有实际的应用意义与价值,反而会使基于归约函数的等价关系的相对复杂性的结构崩塌,因此我们必须在归约函数的选择上加以一定的限制。

随后,丁老师从波兰空间、Borel集等基本概念出发,向我们详细介绍了Borel函数、Borel归约的概念,并将之前提出的三种典型的等价关系全部纳入了Borel归约的体系之下。Borel归约提供了一种刻画比较不同等价关系的复杂性的方法:对任意等价关系E和F,E和F具有相同的Borel归约复杂度当且仅当关系E可Borel归约到关系F,且关系F可Borel归约到关系E。之后,丁老师介绍了一系列关于等价关系间Borel归约性的优美的二分定理。

在介绍完Borel归约的基础理论后,丁老师将前人以及自己近年关于等价关系Borel归约复杂度的相关研究成果按时间顺序一一展示、讲解,最终将目前一些最重要的等价关系按各自的Borel归约复杂度以图例的方式展示出来。

最后,在问答环节,参加报告的师生就等价关系Borel归约复杂度的结构、二分定理与连续统假设的关联、等价关系间的归约关系的推广等方面的问题与丁老师进行了交流。 特别的,数学与统计学院杜乃林教授对丁老师带来的此次讲座赞不绝口,认为丁老师的研究方法在自己研究领域内有着方法论上的意义,并与丁老师就等价关系的Borel归约对数学其他领域的一些问题的启发性意义进行了探讨。丁老师指出,关于等价关系Borel归约复杂度的结构我们可以提出很多问题,不过囿于研究工具当前主要是对分析的等价关系做了较为完全的研究,还有不少未解问题值得未来探索。

本次讲座引人入胜、深入浅出,丁教授的讲解细致入微、分条细理、层层深入,等价关系Borel归约的复杂而优美的结构给在座师生带来了强烈的震撼,留下深刻的印象。

(编辑:邓莉萍     审稿:严璨)